释迦佛公子一个时代的特征，在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。本文提出人文数学的概念，试图建立一个以数学、哲学、艺术为内核，以其他人文社会科学为亚内核，以系统学科、科学技术、生态学、统计学等为外延的有限域的人文数学体系架构。这一架构突出彰显人文数学的基础意义、工具意义、模型意义、方法意义和审美意义，使数学与新工科、新医科、新农科、新文科交互共享，把数学文化的意义价值集约广大，积极推进中国特色人文社会科学的学科体系、学术体系、话语体系建设。

　　每一个时代，都有逢时的人文社会科学和自然科学引领社会发展。马克思说：“自然科学往后将包括关于人的科学，正象关于人的科学包括自然科学一样：这将是一门科学。”列宁在上世纪初也曾指出：“从自然科学奔向社会科学的潮流，不仅在配第时代存在，在马克思时代也存在。在20世纪，这个潮流是同样强大，甚至可说是更加强大了。”数学作为与哲学同时存在的重要学科，它对一个民族和国家的推动与发展，是持续的、累加的，具有奠基意义和长效集约效应。著名数学家M.克莱因讲过，“一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关”。A.N.Rao甚至强调，“一个国家的科学的进步可以用它消耗的数学来度量”。没有哪一种文化能像数学这样泽被天下。因之，联合国科教文组织于1992年，在里约热内卢宣布：“2000年是世界数学年”，同时在宣言中明确指出：“纯粹数学与应用数学是理解世界及其发展的一把主要钥匙。”的确，世界需要这把钥匙，我们每个人也都需要这把钥匙。我国著名数学家齐民友说：“一种没有相当发达的数学的文化是注定要衰落的，一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的。”本文提出人文数学的概念，主要基于两个考虑：一是数学本身的学科发展及其内部结构和内容，或者叫做数学本体论；二是数学作为人类重要文化的内容之一，与其他文化以及人类文明进步的关系，或者叫做数学外延论。我这里讲的人文数学主要是指数学外延论的部分内容，因为数学本体论是由数学学科自己去完成的。基于数学学科的外延，在数学文化与2018年国家提出新工科、新医科、新农科、新文科建设的交互共享等方面，把数学文化的价值意义集约广大，以就教于学界、业界的方家。

　　文化是延续的、传承的，是人类社会发展的源头活水。作为先进文化的数学文化，它承载了人类文明最精华的东西。以往，人们一般喜欢把数学列为自然科学，自20世纪以来，许多著名学者包括钱学森在内，认为数学不应属于自然科学，而是一门单独学科，其突出特色是以作为语言符号、算法系统、形式系统、模型系统为主要形态的符号和结构，它应该与自然科学和人文社会科学并列。徐利治先生曾提出把数学与自然科学、社会科学（人文科学）、技术科学相并列。伴随融媒体等信息技术的出现，把技术科学单列亦具前瞻性思考。

　　文化是什么？文化记录今天，诉诸未来。人是一定社会的文化人，文化是一定社会的文化，人和文化都是沿历史向前发展的。按照汤因比的历史发展观，人类文明就是在挑战与应战中产生的。韦伯曾讲过这样一句名言：“人是悬在由他自己所编织的意义之网中的动物。”因此有人就说，“文化就是这样一些由人自己编织的意义之网”。当代人文社会学科正面临诸多严峻挑战，比如：传统人文学科的守正创新；人文学科与自然科学及理、工、农、医等学科的借鉴共享；人文学科与新媒体大数据交互共享；人文教育与资政育人；人文社会科学如何服务国家战略等。本文提出人文数学的概念，恰恰也是基于这样的时代挑战与应战。

　　数学经过几千年发展，通过逐步建立起对数的表示与计算方法，以及对整个自然世界、客观世界和社会问题的系统化建设，已然成为一个宏大的思想体系和充满活力的文化支系。数学不仅在科学推理中具有重要价值，在科学猜想和重大科学实验中起着核心作用。诚然，数学在许多重大工程设计中亦是必不可少的，而且“数学决定了大部分哲学思想的内容和研究方法，摧毁和构建了众多宗教教义，为政治学和宗教理论提供了依据，塑造了众多流派的绘画、音乐、建筑和文学风格，创立了逻辑学，而且为我们必须回答的人和宇宙的基本问题提供了最好的答案……作为理性精神的化身，数学已经渗透到以前由权威、习惯、风俗所统治的领域，而且取代他们成为思想和行动的指南。最为重要的是，作为一种宝贵的、无可比拟的人类成就，数学在使人赏心悦目和提供审美价值方面，至少可与其他任何一种文化门类媲美”。可以这样讲，从主观意义或者对社会的作用方面看，人文数学既是个人认知的一种积累和素养，又是人文精神的充分表现；既是时代进步的巨大驱动力，又是一种流动着的个人意志风景，它包容及调节着一切社会科学和自然科学，制约与实施作为模式化的生活方式，具有在宇宙间的一切尽可能多的特质，是社会人的全部产品，是影响社会与个人的重要力量。

　　数学几乎具有人类文化的所有性质，其文化意蕴是数学的文化底色。伽里略有一句名言：“宇宙是永远放在我们面前的一本大书，哲学就写在这本书上。但是，如果不首先掌握它的语言和符号，就不能理解它。这本书是用数学写的，它的符号是三角形、圆和其他的图形，不借助它们就一个字也看不懂，没有它们就只会在黑暗的迷宫中踯躅。”数学，其大多时候并不刻意以客观实在为对象，也绝非只有数和形的要素及呈现形式。人们研究数学的直接动力，是要解决社会需要所提出的问题，而数学的最基本作用就是为人们提供合理、科学、便捷的自然现象结构。我曾在拙著《数学文化》中概括出万物皆数说、符号说、哲学说、科学说、逻辑说、集合说、结构说、模型说、工具说、直觉说、精神说、审美说、活动说、艺术说等十四种关于数学文化的概念，被学界多次转引。从学科本身来讲，数学是一门有相对独立性的学科，它既不属于自然科学，也不属于人文、社会科学；从它的学科结构看，数学是模型；从它的过程看，数学是推理与计算；从它的形式看，数学是符号；从它对人们的生活意义看，数学是工具、是方法论；从它的社会价值看，数学是所有科学知识的基础。也有人分析说，数学可以分成两大类，一类是算的问题，一类是结构的问题。因此，对数学来说，“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，过分强调某一方面，都可能忽视另一方面。我以为可用一句话概括：数学是研究现实世界中数与形之间各种模型的一门结构性科学。提出这个概念，主要强调以下几个方面的内容：

　　诚然，数学作为一门历史悠久的学科，从二千多年前的欧氏几何就已经形成较为完备的学科体系。但是，数学真正成为一门系统的现代学科，包括建立数的表示及计算方法，以及有一套完整系统的学科体系和方法论，只是近两个世纪的事情。欧拉、拉格朗日等人以牛顿、莱布尼兹的微积分为工具，开创了数学分析这门数学，从而导致近代力学及工程学的发展，成为工业革命的基础。而高斯和黎曼则使物理学几何化，将微分几何和复变函数的理论发挥得淋漓尽致，大大促进了电磁学和相对论的发展。而爱因斯坦和外尔将引力场和物质场几何化，在20世纪70年代就已完成标准模型，把人类智慧发挥到尽善尽美了。

　　人文数学，应该有一个体系架构和学科内涵，我试图确立一个人文数学的内核、亚内核和有限域的三元体系架构，有限域则是借鉴拓扑空间的思想。

　　人文数学的三元结构，内核是数学、哲学和艺术学。确立这样一个三元架构关系，是因为数学、哲学和艺术学密不可分，亦此亦彼。古代西方一些大数学家几乎都是大哲学家，故内核里面有哲学、数学容易理解。为什么把艺术作为三元之一，音乐曾被看成是一种宇宙和谐的理论，是有关数学的一门学科：“中世纪从古代继承了一个观点，即音乐并非一种自由创造的艺术，而是一门把数学理论付诸实用的严谨的科学。”因此，把艺术作为内核，古已有之，势在必然。

　　1.数学与哲学。自有哲学以来，数学就成了哲学问题的一个重要来源，数学为哲学的生存与可持续发展提供了丰富的社会实践土壤。B.Demollins说：“没有数学，我们无法看透哲学的深度；没有哲学，人们也无法看透数学的深度；而若没有两者，人们就什么也看不透。”数学与哲学同宗同源，从2000多年前毕达哥拉斯的“数统治着宇宙”到欧几里得的点、线、面等抽象定义，以及亚里士多德的“数学与哲学是相同的”，直到今天，数学一刻也没有离开过哲学，哲学同样也一刻没有离开过数学，哲学把整个世界作为自己的对象，数学亦然。

　　数学文化的哲学意义，主要强调它是一种形而上的思维科学，且具有特殊的范型（范式、规范）意义。数学文化的哲学观，从一定意义讲突出了数学作为一门独立学科的思维方法。思维是数学的灵魂，而这样一种思维集中体现在诸如观察、实验、类比、归纳、猜测、想象等一些社会实践中。

　　数学基于形体，它面对自然界的万事万物，但它的概念又是形而上的。比如欧几里得在其《原本》中的那些概念，几乎都是从哲学方面去定义：

　　点是没有部分的那种东西；线是没有宽度的长度；直线是同其中各点看齐的线；面是只有长度和宽度的那种东西；……圆是包含在一(曲)线里的那种平面图形，从其内某一点达到该线的所有直线彼此相等，等等。

　　那么，“没有部分的那种东西”和“只有长度和宽度的那种东西”是什么呢？“没有部分”存在吗？我们能知晓它们吗？我们能说欧氏定义的“点”就在我们心中吗？所有这些都不是从经验中获得。实际上，他们都是关于意义、真理、社会实践知识的一些最基本问题，都属于哲学的范畴。

　　牛顿在其《自然哲学之数学原理》第一版序言中曾说，他是把这本书作为哲学的数学原理著作，在哲学范围内尽量把数学问题呈现出来。罗素更直白，为了创造一种健康的哲学，你应该抛弃形而上学，但要成为一个好数学家，他把数学素养作为创造健康哲学的基本条件。哲学和数学这种类似体用关系的两门学科，通常是通过对立统一去实现互补的。他们的相互作用体现了数学的深刻本质，包括有时你很难评判的“下意识”和“有意识”到底谁更正确、谁更接近真理。我们通过以下几组对应关系来对数学与哲学做一些探讨和尝试：

　　（1）宏观与微观。哲学从宏观上探讨对整个世界的意义，是人们认知世界的思想体系，其主要内容包括思维对存在、思维对精神、思维对物质的交互统一等。因此，哲学在大范围内高维度地认知世界，诠释大道理。而早期数学，既着眼于对世界的宏观认识，也注重具体事件。比如，在对定理、概念的确认方面，几何直接进入到意义、真理、实在等一些属于哲学范畴的领地。但对解决具体实践问题的数学来说，它不像哲学那么宏观、抽象。数学是实践科学，它研究从现实活动中抽象出来的许多看似一般但并非任意性的概念，并将这些概念及它们之间的复杂关系形式化、格式化、模型化。这样，数学就有条件通过演绎或归纳进入到其他学科或者更具象的事物结构中去。

　　数学进到其他学科，从中获得丰富的营养，以拓宽自己的视域，发挥自己的作用。数学一旦成功进入到一门学科中，它就无可争辩地获得了该学科的支配权，而这种支配权实际上就是这门学科成熟、完善的唯一体现。达芬奇说：“任何人类的探究活动也不能称为科学，除非这种活动通过数学表达方式和经过数学证明来开辟自己的道路。”与哲学相比，数学不仅注重形而上，更关心形而下，形内形外，形上形下，完美统一。

　　（2）抽象与具体。哲学研究的对象往往是非可视、非具体的，数学不一样，其定义、定理、公设，既源于社会实践，又高度抽象。数学研究抽象，一旦抽象与具体事物联系在一起，它又是很具体的内容和结构。哲学大多时候类似只可意会不可言传，而数学则长于言传。数学的本质在于它的严密性、精确性和抽象性。数学抽象一般是对概念而言，而概念是从实践中抽象出来的，一旦这种抽象完成，其抽象结果就具有普遍性和公理性。欧几里得的“公设”“公理”，包括一些“定理”等，都具有这样的普遍意义和性质。

　　（3）无限和有限。在对待无限和有限的问题上，西方数学家往往受他们哲学观的影响，顾此失彼。希尔伯特曾热情洋溢地指出：“从来就没有任何问题能像无限那样，深深地触动着人们的情感；没有任何观念能像无限那样，曾如此卓有成效地激励着人们的理智；也没有任何概念能像无限那样，是如此迫切地需要予以澄清。”实际上，有限和无限是相依而存在，离开有限，无限也没有意义，并且不能实现同实体相区别。马克思主义者认为，在对待无限的问题上，绝对的肯定与否定，非此即彼的做法都是不可取的。无限的概念本来就是抽象的，而这种抽象必然有对社会现实的部分失真。因此，既不能把这种抽象等同于现实，也不能因它对现实的部分失真而否认它的存在合理性。

　　（4）线性与非线性。通常我们讲线性与非线性，一般是与连续和离散联系在一起的。函数的向量变化分为两大类，如时间、距离、质量等，通常我们可以用一个数量来描写就可以了。但是，要描述物体的运动规律，用一个数量就不够了，这时就要用一个有大小有方向的向量。如果还要去描述更多的物体运动规律，或一个点的即时运动，就需要空间坐标系的向量场，以及连续函数等。反之，如果再描述更复杂的物体运动规律，那就需要张量和张量场。爱因斯坦的相对论，就是借鉴数学中黎曼几何等思想，用张量表示时空、动量和能量，从而取得成功。

　　（5）量变与质变。数学是研究事物关系的模型以及对事物运动状态进行描述的一门科学，其中一个非常重要的内容就是量变与质变。从量变到质变是辩证法的重要内容之一，除此还有对立统一、否定之否定等。从数学的观点看，世间万千事物的交互联系，无非都是一个n维（有穷或无穷）空间的函数关系。而事物的变化，则是这个函数分量之间增加与减少的趋势，增或减是最基本的变化。函数的变化分为连续和不连续，连续函数表明事物变化只是在量的多少上，而间断的非连续函数则表明在那个间断节点上已经发生了质的变化。数字关系是宇宙的关键，通过数字可以知晓世间所有事物。在数学中，我们还要特别关注一些变中不变或者不变中变的东西，那往往是大规律，带根本性的趋势或公理。

　　（6）证明与非证明。大哲学家黑格尔曾说过，“证明是数学的灵魂”。数学研究结构，比如对某一结构关系，通常情况如果它受什么条件制约的话，则必须有什么性质与其对应。不少著名定理的发现始于数学猜想，许多古代哲学家、数学家都毫不犹豫地把一些著名猜想从它很平淡的推理中演绎出来。

　　相对于数学证明，哲学无需证明“假设”和“如果”。哲学的命题从来都是肯定的、唯一的、不含糊的。比如“世界是物质的”，“一切事物都包含着矛盾”，“物极必反”……这些命题不需要先决条件。哲学不像数学，一定要把命题与具体事物联系起来，哲学就整体而言是宏观的，它喜欢高屋建瓴。比如，物质是无限可分的，不存在不可分的基本粒子，对于这个命题，永远不可能被证实。这是因为，即使我们把现在已经发现的“基本”粒子再分1亿次，也还不能说已经“无限可分”。反过来讲，即使再过100万年甚至更长时间，我们还不能把“基本”粒子再分割成更基本的粒子的话，也不能推翻这个命题。因此，哲学的许多命题很难证实，或者说不能证伪。

　　（7）先天知识与后天经验。讨论数学文化的哲学观不能避开先天知识与后天经验知识的区分这一事实。从历史传统看，理性主义的哲学家大都主张先天知识比经验知识更重要，经验主义者则持相反的态度。先验因素包括时间空间的直观形式和因果性、必然性这类知行范畴。从最广泛的意义讲，经验是指一种态度或者成见，包括理念意义和哲学的认识论。比如，关于点、线、面、数等概念知识，它们所代表的事物源于经验，且一旦被抽象出来，就往往会继续以自我的、超过经验科学的方式去发展。数学不应算是经验科学，它更应是一种在思维创造意义下的科学。冯·诺依曼曾警告说：“数学思想来源于经验……虽则经验与数学思想之间的宗谱有时是悠久而朦胧的，但是数学思想一旦被构思出来，这门学科就开始经历它本身所特有的生命，把它比作创造性的，受几乎一切审美因素支配的学科，比把它比作别的事物特别是经验科学更好一些。”

　　2.数学与艺术。艺术长于形象思维，以美启真。数学长于逻辑思维，以真扬美。雨果说：“数学到了最后阶段就遇到想象，在圆锥曲线、对数、概率、微积分中，想象成了计算的系数，于是数学也成了诗。”而艺术“越往前走，艺术越要科学化，同时科学也要艺术化，两者殊途同归”。A.波莱尔曾指出：“一方面，数学是一门科学，因为他的主要目的是为自然科学和技术科学服务，这个目的实际上正是数学的起源；另一方面，数学也是一门艺术，因为它主要是思维的创造，靠才智取得进展，很多进展出自人类脑海深处，只有美学标准才是最终的鉴定者。”数学与艺术生生不息。数学主要是解决归纳、集约、解构和重构的问题，包括设计艺术，概莫能外。

　　达·芬奇作为意大利著名艺术家、科学家，是整个欧洲文艺复兴时期最杰出的代表之一，他学识渊博，在多个领域卓有成就。爱因斯坦曾认为，达·芬奇的科研成果如果在当时就发表的话，世界科技可以提前半个世纪。

　　3.哲学与艺术。哲学是一种科学理念和社会意识形态，它比其他社会意识形态更高远、更概括，更能完整地彰显人们对客观世界和物质世界的认识，指导人们的社会实践与思想活动。而艺术与哲学比，则是具象的、生动的、感染人的。艺术通过文学、戏剧、电影、音乐、舞蹈、绘画雕塑等多种形式，展现社会生活中的内容，源于生活、高于生活，感染人、教育人、启迪人。虽然艺术和哲学的属性与呈现不一样，但它们都是社会意识的核心内容和精神力量，对人们的社会生活和思想行为有重要影响。

　　关于人文数学的核心架构，我们可以用这样一个三元结构图形来说明（见图1）：

　　（二）亚内核：数学、哲学、艺术、文学、历史、经济、法学、政治、教育学、军事学、管理学

　　人文数学的亚内核，主要是解构数学与人文社会科学的关系。我以为，人文社会科学里面主要有文学、历史、经济、法学、政治、教育学、军事学、管理学等学科门类的诸多一级学科。在人文社会科学中，理论与实际相结合将会产生对现实情况有用的模型，如果一个模型与社会、政治、经济、文化等发展的一系列计划目标相关联，其产生的结果必然会催生一系列政策出台。亚内核是人文数学的主战场，比如：

　　1.数学与政治。数学与政治关系密切。近一个世纪以来，包括发达国家在内的世界诸多国家的民选民调，民意舆论走向等，一刻也没有离开过以数理统计为方法的大数据分析。

　　我曾用一个模型去建构数学与社会的安定和谐，用“1”表示社会在比较平衡状态下社会安定的集约效果值，以k1、k2、k3，……kn分别表示来自社会各方面的经济、政治、文化等社会诸要素在“1”中所占的比例。这里的“1”，实际上就是一个累加的集约效果值。当我们这个社会遇到一些不安定因素时，社会安定这个集约力就会呈下面的样子：

　　当C=0时，表示Ki不需要注入舆论引导的“必要功能”，那这个社会安定的集约效果值就是有保证的，是“1”。当0Ci1时，表示Ki要注入“必要功能”，以形成有影响力的舆论引导促进社会和谐，这种和谐的最主要标志，即：政府与公民利益的共享性，形成政府与民意在利益诉求方面的“最大公约数”。

　　2.数学与经济。数学与经济的内容尤为丰富。有统计表明，自1969年至2008年间产生的40届诺贝尔经济学奖获得者共有62名，其中有26人具有数学硕士或博士学位，先学数学后投入经济学，占比42%。62人中有49人的研究工作运用了强或特强的数学方法，占比79%，其中苏联的康拓诺维奇和美国的纳什都是大数学家。1994年,在诺贝尔奖设立93年的历史中,第一次把诺贝尔经济学奖授予一个只是在纯数学领域所做的工作，诺贝尔经济学奖由普林斯顿大学的数学家J.纳什和J.哈撒尼及R.赛尔腾分享。J.纳什等人所做的工作证明了一条定理,亦即把极小极大定理推广到有两个或更多个直接竞争的局中人的非零对策和所谓的非合作对策的情形。S.斯梅尔、R.古德温和其他人关于经济过程的动力学的研究,成为关于经济能迅速变成各种类型循环或混沌行为方式的现代工作的直接先驱。由于这些工作造成的数学和经济的结合是如此成功,“一般均衡理论”工作荣获1977年诺贝尔经济学奖。1983年,G.德勃罗在他的《价值理论》一书中所叙述的关于一般均衡理论的新发展,使他荣获诺贝尔经济学奖。数学不仅帮助人们在经济运营中获利,而且给予人们以能力,包括直观思维、逻辑思维、精确计算等。人们运用控制理论和递度法,求解了20世纪韩国经济的最优计划模型。在微观经济中,运用数学建立经济模型,寻求经济管理中的最佳方案；运用数学方法组织、调度、控制生产过程,从数据处理中获取经济信息等，使得代数学、分析学、运筹学、概率论和统计数学等大量数学思想和方法直接进入到经济科学中，而这些实际运用又反过来大大促进了数学学科的发展。今天，任何一位不懂数学的经济学家绝不可能成为一位杰出的经济学家。1970年,保罗·安·萨缪尔森（美国）发展了数理和动态经济理论，将经济科学提高到新的水平。他的研究几乎涉及经济学的全部领域，他根据所考察的各种问题，采用多种数学工具，使用了既包括静态均衡分析，也包括动态过程分析的方法，这对当代微观经济学和宏观经济学许多理论的发展，都有一定影响。苏联数学家坎托罗维奇因对物资最优调拨理论的贡献，获1975年诺贝尔经济学奖，他被公认为最优规划理论的创始人、经济数学理论的奠基人。Kleim因“设计预测经济变动的计算机模式”而获1980年诺贝尔经济学奖。Tobin因“投资决策的数学模型”获1981年诺贝尔经济学奖。1993年获奖的罗伯特·福格尔用经济史的新理论及数理工具重新诠释了过去的经济发展过程。近年来，诺贝尔经济学奖获得者中出现的数学家更多,像2012年诺贝尔经济学奖得主劳埃德·夏普里本科和博士读的都是数学,埃尔文·罗斯本科和博士读的也是和数学接近的运筹学。

　　至于数学与文学、历史、法学、教育学、军事学、管理学等相互交叉，融融与共的例子，比比皆是。西方许多大作家往往把逻辑思维和清晰、匀称的文风有机结合起来。德莱顿甚至声称：“一个人要成为一个优秀的诗人，就必须通晓几门科学，同时还必须有一个合乎理性的、合乎语法的，在某种程度上来说，合乎数学的头脑才能胜任。”除此，像数学与军事学，数学与管理学等，更是密不可分，大多数时候离开数学几乎寸步难行。确如华罗庚对数学应用的精辟概括，“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。”

　　人文数学的圈域结构，包括内核、亚内核和有限域，而有限域主要是指交叉学科的区域内容，具体包括理学里面的系统学科、科学技术、生态学、统计学，工学里面的安全科学与工程、公安技术、网络空间、资源与环境、能源动力、土木水利，以及农、医里面的风景园林、旅游管理、公共卫生等相关学科以及交叉学科本门类等（如图2所示）。

　　应该说，系统学科和统计学，不管是从理念、方法还是工程，数学都是其灵魂内容之一，尤其伴随新技术革命、信息技术等兴起的系统学科，几乎涵盖了所有社会、经济、工程等众多领域，它由数学、管理、计算机等学科方向交叉融合，在理论和实践上已然发展成为当下一个极具前景、充满诱惑的重要学科方向。比如，在复杂系统建模与调控，系统分析与集成，智能供应链系统分析与优化，都已经实现了利用数理、控制与计算机等交叉学科背景的大数据智能化数据分析；解决机器人群体行为、人工智能领域中的协调及控制；融合大数据分析，形成复杂电商智能供应链系统产品设计与优化、智能物流与供应链系统建模与协调、智能生产物流系统建模与仿真等。

　　工学里面的安全科学与工程、公安技术、网络空间，包括“集成电路科学与工程”和“国家安全学”，在理论和方法上涉及多个数学学科，显示出与数学交叉渗透的突出特点。而资源与环境、能源动力、土木水利，以及农、医里面的风景园林、旅游管理、公共卫生等相关学科也与数学紧密相连。这样一个有限域庞大体系里，恰是数学赖以生存，且把诸多相邻学科紧紧融合在一起的关键因素。

　　提出人文数学的初衷，主要是想探求它在推进民族文化繁荣，提高民族文化素养、科学素养、人文素养，特别是在与新工科、新医科、新农科、新文科交互共享等方面的意义价值、现实意义和历史意义。基于此，本文试图梳理出基础意义、工具意义、模型意义、方法意义和审美意义。

　　所谓人文数学的基础意义，一是强调数学是一切科学的基础、工具、方法和精髓，没有数学就没有科学，数学是科学之基。兰德尔曾在《现代思想的形成》中指出：“科学起源于用数学解释自然界这种信念，而且在很久以前这个信念就为经验证实了。”二是拎出使数学成为一门学科的那部分实实在在的东西。我曾在多年前提出数学文化的三元价值体系，意即“自在性价值”的那部分内容。数学源于人们的社会实践，它的诸多概念都是从人类社会生活中直接导出，并冠之于一些带普遍意义的概念。人类生存发展的诸多活动，在为人类提供对象和运算的同时，也丰富了后来嵌入式公理系统中的各种概念。例如，群概念揭示了运动、对称性、代数运算的共同性质；概率论的概念，源于，它解释了从偶然到探求必然、无序中寻找有序的大概估计，不然我们真会寸步难行，无所作为。同样，许多其他数学概念的结构也应用广泛。林恩·阿瑟·斯蒂恩认为，数学主要是由数、形、算法、函数、比、数据等组成的。如果从行动上考虑，则是表示连续、控制、实验、证明、分类、发现、可视化、应用、计算；如果从抽象上看，则是符号、等价、无穷、变化、优化、相似性、逻辑、递归等；或者从态度上讲，就是惊异、美、意义、实在；从行为上说即为运动、如果从属性上看，是线性的、随机的、周期的、极大的、对称的、近似的、连续稳定性、混沌、收敛、共振、分岔、迭代、振动；如果说从一个分工的意义上讲，则是离散对连续，有限对无穷，算法对存在，随机对决定，精密对近似等。

　　诚然，数学的基础意义首先是作为语言立世的。马克思和恩格斯在《德意志意识形态》中指出：“语言是思想的直接现实。正像哲学家们把思维变成一种独立的力量那样，他们也一定要把语言变成某种独立的特殊的王国。这就是哲学语言的秘密，在哲学语言里，思想通过词的形式具有自己本身的内容。从思想世界降到现实世界的问题，变成了从语言降到生活中的问题。”“语言和意识具有同样长久的历史；语言是一种实践的、既为别人存在并仅仅因此也为我自己存在的、现实的意识。语言也和意识一样，只是由于需要，由于和他人交往的迫切需要才产生的。”因此，对数学这门学科来说，基础意义非常重要。数学对社会的基础贡献，不仅体现在作为语言符号的功能，除此还为人们提供自然现象的合理结构，包括作为支撑数学体系的算法系统、形式系统和模型系统。另外，数学在成就人方面的基础作用亦不能忽视。科学史上，许多做出重大贡献的科学家大都文理兼通，像笛卡尔、帕斯卡、牛顿、拉格朗日、柯西、高斯、庞加莱、希尔伯特、爱因斯坦等。

　　数学的工具意义，基于解决人们生活实践中的问题，科学发展是以解决问题为价值诉求。培根讲过：“数学是通向科学大门的钥匙。”德国著名哲学家康德说：“任何科学，含有数学成分的多寡，决定了它在多大程度上够得上成为一门科学。”应当说，数学是极具抽象的工具，它在处理任何种类的实际问题时，其力量是没有限度的。以至于有人说，一本关于新兴物理的书，只要不是纯粹描述实验的，实质上就必然是数学书，数学成就了一切科学。

　　怀特海对数学的理解更透彻，他说：“代数是搞清楚世界上数量关系的智力工具。”他进一步说：“没有什么比这一事实更难忘的了，数学脱离现实而进入抽象思维的最高层次，当它返回现实时，在对具体事实进行分析时，其重要性也相应增加了……最抽象的东西，是解决现实问题最有力的武器，这一悖论已完全为人们接受了。”数学作为一种认知工具，它比任何其他知识工具更有力，是所有其他人文社会科学和自然科学最具基础意义的工具源泉。

　　数学的工具意义，还体现在解决问题上。数学充满抽象，几何往往更具象和直观，给空洞的数学抽象、公式，提供创造动力。大多数学家一般是用几何模式思考，但当他们豁然开朗，提出新模型结构时，似乎没有任何痕迹。难免使人想到柏拉图的“几何拎着灵魂走向真理”。不管哪门学科的发展，都一定要特别注重问题意识，能提出问题就说明充满生命力，而缺乏有意义的问题，那就预示着这门学科的衰亡和终结。数学文化通过一系列“对思维”去彰显它的工具意义，比如：

　　发现与证明。一般讲，定律和理论是基于观察，经归纳和假说获得。发明源自假说，无规则可循，假说就是猜想。发现以猜测为前提，它与证明都是数学方法的重要内容。猜测是发现，是提出新思想，假设通常是以猜想开始的，许多重要的数学成就都是在猜想的基础上，通过严格证明去获得，如费马猜想，哥德巴赫猜想等。有时，一个猜想可以带出或生发出一个新的学科方向。比如，对欧氏第五公式的证明产生了非欧几何理论，黎曼猜想则发展成为“模型式理论”这一重要函数论的分支科学，这些在数学中比比皆是。

　　分析与综合。分析和综合是数学科学的两个方面，分析意味着比较，它是由已知命题开始，通过演绎、归纳等一连串的过程来导出未知的命题，或解决所要给出问题的解。综合是由未知去推导已知，在假定的前提下导出结论，而这一结论恰恰是已给定的条件或已知的命题。真正把分析与综合分开的人是康德，在康德看来，知道某种事物或者甚至持有任何一种信念，都可看作是作出一个判断。判断可以是自觉地或不自觉地作出来的，而且可以用也可以不用语言文字表达并作为一个陈述说出来。实际上，一部数学发展史，就是一道缤纷多彩的“分”的艺术景观，从最早的数形合一到代数与几何分开，再到后来的自然数、整数、有理数、无理数、实数、复数，从欧氏几何到非欧几何，从初等几何到解析几何、微分几何，从实变函数到复变函数，从三维空间到n维、高维空间……无一不是分的艺术。

　　数学模型是活的数学，每一门数学学科都是一种模型。微积分是物体运动的模型，概率论是偶然与必然的模型，欧氏几何是现实空间的模型，非欧几何是超维空间的模型。数学模型是创造性思维的产物，是一种简化了的对真实世界的表述，它对现实是一种同构或者预期。数学模型一旦生成，它就获得了一种相对独立性，它源于社会实践，反过来又制约、指导、微调人们的实践。数学的本质，说到底就是研究相关模式。约翰逊·格伦说：“数学为逻辑提供了一个理想的模型，它的表达是清晰的和准确的，它的结论是确定的，它有着新颖和多种多样的领域，它具有增进力量的抽象性，它具有预言事件的能力，它能间接地度量数量，它有着无限的创造机会……”。雷尼说过，甚至一个粗糙的数学模型也能帮助我们更好地理解一个实际的情况，因为我们在试图建立数学模型时被迫考虑了各种逻辑可能性，不含混地定义了所有的概念，并且区分了重要的和次要的因素。一个数学模型即使导出一些与事实不符的结果，它也还可能是有价值的，因为一个模型的失败可以帮助我们去寻找更好的模型。足见模型对于人们挑战自然的作用是如何巨大。

　　我们可以从两个方面来理解数学模型，一是具象的抽象物，它只是在原型之上的一种东西。比如像前面说的微积分是物体运动的模型，概率论是偶然与必然的模型，欧氏几何是现实空间的模型等。另一个方面，它又是具有明确含意，体现了思维对现实的能动反映。比如像非欧几何，是超维空间的模型。因此，大凡成功的数学模型都必须具备逻辑合理性、模式准确性和现实真理性，这就是为什么微积分那么准确地反映了物体运动规律的道理。以致亨利希·赫茨在评价一些公式模型时说：“我们无法避开一种感觉，即这些数学公式自有其独立的存在，自有其本身的智慧；它们比我们还要聪明，甚至比发明它们的人还要聪明；我们从它们得到的，实比原来输进去的多。”

　　科学发展是以解决问题为价值诉求。“应该有一门普遍的科学来解释所有关于秩序和尺度的知识，独立于对于任何研究对象的运用；这门科学的专名已为长期的用法所神圣化，这就是数学。”一般讲，最突出的、最美的真理，最后都是以数学的形式来完美呈现。数学最主要的方法有演绎法、类比法、归纳法等。

　　1.演绎法。数学既是一门归纳的学问，又是一门演绎的科学。数学的主要思维形式，一般是通过演泽与归纳去实现的。演绎方法在数学科学体系中，是被我们用作证明的根据，或者说是前提，是一些基本概念、定义、定理、公理等，它不允许把一些经验材料直接引入证明过程中，这是数学与物理、生物、化学等其他自然学科不同的地方。演绎是由一般的判断(大前提)、特殊判断(小前提)、结论三部分组成的三段论表现形式。演绎通过一般的公理或假设，然后再从这些一般公理或假设演绎出一系列蕴含其中的命题。笛卡儿、莱布尼兹、斯宾诺莎为代表的唯理论哲学派别则认为，数学演绎是有效的方法。演绎法作为一种获得结论的方法，与反复试验法、归纳法和类比推理相比有许多优点，如果前提确定，结论也必然确定无疑。演绎揭示事物内在联系，使我们看到现象背后的本质。

　　2.归纳法。归纳与演绎不一样，它是利用已知数据或资料，通过特殊到一般的推理方法，以一种不同的方法来证明无穷序列情形都是如此。数学归纳法原理可以推广为：

　　“如果给定一系列命题，As+As+1，As+2，…，这里s是某个正整数，且如果

　　则所有命题As，As+1，As+2，…，是真的。就是说，对所有的n≥s，An成立。”

　　很清楚，这里是把序列1，2，3…换成了类似的序列s，s+1，s+2，…，并运用了建立普通数学归纳法时所用的同一推理。许多大数学家的伟大发明都是通过归纳法获得的，归纳法有完全归纳法和不完全归纳法之分。

　　归纳，讲到底是通过研究若干个事实，找出它们之间共性的一种思想方法，把特殊推向一般。虽然它所考察的只是若干个别现象，但是所得结论却能超出考察的范围。归纳不仅仅只是一种推理，也是一种科学发现的有效方法。数学中的许多定理、公式等重要结论，大都是通过归纳、猜想得到的。当然，有许多重要猜想提出的过程和实践表明，在其提出猜想的同时，就已经包含了对命题的直观证明或不太严格的证明，与后续证明的补充相比，提出新思想更为难得。

　　演绎与归纳，既有区别又有统一。如果我们想要建立一个经验的结论，那么在我们的推理中至少有一些步骤必须是归纳的。经验的结论决不可能通过每一步都完全是演绎的推理建立起来。

　　3.类比法。类比是一般数学方法中最基本、最重要的内容之一，它是由已知事实或已知定义、定理出发，通过类比引申出新的想法和结论。类比的基础是数学对象形式结构的相似或接近，通过对两个以上的类似对象进行比较，去获得新思路和新发现。数与形的类比是数学研究中常见的，类比有平面与空间的类比，以平面为基础，先把空间的内容放到平面上看看，或者把平面放在空间上。其实，从二维、三维、四维推广到n维，就是类比的结果。有限与无限的类比，从有限拓展到无限，用无限来分析有限。“集合”的思想，其中许多用了极限、无穷序列思想等。类比的一个最基本的东西，就是由已知事实或已知定义、定理出发，通过类比引申出新的想法和结论。

　　1.数学的审美意义。罗素有一段很精彩的话：“数学，如果正确地看它，则具有……至高无上的美——正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美境地。一种真实的喜悦的精神，一种精神上的亢奋，一种觉得高于人的意识——这些是至善至美的标准，能够在诗里得到，也能够在数学里得到。”美是一种价值体验，美是一种时空和谐，美是一种境界和状态。数学的审美意义应该是人文数学中最丰富的。古代哲学家、数学家普洛克拉斯曾断言：“哪里有数，哪里就有美。”开普勒也说：“数学是这个世界之美的原型。”狄拉克说：“研究工作者，在他致力用数学形式表示自然界时，主要应该追求数学美。他还应该把简单性附属于美而加以考虑。通常，简单性的要求和美的要求是相同的，但是在它所发生冲突的地方，后者更为重要。”美是数学家的重要素质，在几千年的数学文化发展中，“美”的追求经常被作为对数学家的重要“素质”要求。数学家怀特海作为成功者，不无自豪地说，作为人类精神最原始的创造，只有音乐堪与数学媲美。只有取得过数学财富的少数人……才能尝到数学的“特殊”乐趣。审美追求能作为数学发展的重要原动力之一，一个主要原因就是后者的创造性需要。数学是一种创造性的艺术，大多数学家都是像艺术家一样地生活，一样地工作，一样地思索。

　　2.数学美的实质。数学美的实质是一种大美、大善、大真，超越时空，体现了人与物的交流性、统一性、和谐性、结构性、抽象性。概言之，我们可以从如下方面来梳理数学的审美意义。

　　（1）和谐美(或称韵律美)。和谐美是数学美的最高境界。数学的和谐一般体现在它的高度一致性、协调性、统一性，当然也包括函数关系反映出来的对称性和统一性，这构成了和谐美的最主要内容。统一性不是数学局部美的相加，而是一个整体，这种美不仅涵盖逻辑的统一性、一致性，也可从其概念和范畴上去理解它更大的包容性和宏伟美。比如：同构的概念，同胚的概念，同伦的概念等，很自然地把一些系统中的本质联系揭示出来，显示出深刻的统一性。和谐美的第二点就是协调，恰到好处，给人分寸感最好的莫过于黄金分割法。

　　（2）对称美。对称是和谐美的经典内容，其中有图形的对称(包括一些函数图形)和概念与公式的对称，尤其是存在于概念与公式中的对称思想，是数学思想中的精华。比如在射影几何中，点和直线常处于“对称”地位，被人们总结为“对偶原理”。恰恰是由于对称性的研究，产生了一门概括性和普遍性极高的数学——群论。19世纪，对称群或交换群的理论就已成为数学发展的主流，后经克莱因的变换群工作，几乎应用到全部几何学分类。

　　（3）符号美。数学文化美学观的最主要内容之一，这或许是数学文化所独有的。F.克莱因说“符号常常比发明他们的数学家更能推理”，数是科学的语言，符号则是记录、表达这些语言的文字。必须牢记符号是数学思想的记录，是客观世界在数量关系上的反映。

　　（4）简洁美。数学文化符号美的另一个特点是简洁，数学以其内容简洁和形式完美作为目标追求，越是简单的东西，越是蕴含了深厚的东西。冯·诺伊曼曾深刻指出：“人们要求一个数学定理或数学理论，不仅能用简单和优美的方法对大量的先天彼此毫无联系的个别情况加以描述，并进行分类，而且也期望它在‘建筑’结构上‘优美’。如果推演是冗长或复杂的话，那么就应该用某种简单的一般原理，用以说明各种复杂和曲折的情况，把明显的武断化为少数几条简单的指导性的推动因素，等等。”简洁、明了是一切从事科学研究人的共同习性。大数学家高斯有一个思维特点，他的著作力求简洁、清晰、优美。他时常提醒并要求自己“把每一种数学讨论压缩成最简洁优美的形式”。

　　关于人文数学的文化意蕴，博大精深，其体系架构和价值意义，是一个亟待深入开掘和拓展的富矿区。我们正面向第二个百年奋斗目标迈进，世界风云波澜壮阔，中华民族要自立于世界民族之林，实现民族复兴的伟大梦想。我们的人文社会科学、自然科学，都需要数学这把钥匙，在与新工科、新医科、新农科、新文科建设中，把人文数学做大做强，在科教兴国文化育人方面作出应有的贡献。（方延明 南京大学新闻传播学院教授，原文发表于《南京社会科学》2023年第八期）